Aplicación de la Transformada de Laplace en circuitos eléctricos
Fue acuñada en primer lugar por Pierre—Simon Laplace en 1782. Su utilización dentro de
la técnica se debe en su forma rigurosa a Thomas Bromwich, el cual formalizó utilizando las
funciones de variable compleja y la Transformada de Laplace un cálculo operacional inventado
por Oliver Heaviside para la resolución de circuitos eléctricos.
la técnica se debe en su forma rigurosa a Thomas Bromwich, el cual formalizó utilizando las
funciones de variable compleja y la Transformada de Laplace un cálculo operacional inventado
por Oliver Heaviside para la resolución de circuitos eléctricos.
La Transformada de Laplace es una forma de resolver, de las muchas que hay,
este tipo de ecuaciones de una manera sencilla.
este tipo de ecuaciones de una manera sencilla.
Antes de desarrollar un ejemplo en el cual se pueda observar cómo se aplica la
Transformada de Laplace, se presentaran algunos conceptos que serán utilizados
en este, con el fin de lograr una buena comprensión de lo realizado.
Transformada de Laplace, se presentaran algunos conceptos que serán utilizados
en este, con el fin de lograr una buena comprensión de lo realizado.
COMPONENTES DEL CIRCUITO
El circuito que se va a utilizar es un circuito en paralelo que contiene tres
resistencias eléctricas (resistores) y un par de bobinas (inductores), todo se
encuentra conectado a una fuente. El comportamiento de este tipo de circuito
se describe generalmente por una ecuación diferencial de segundo orden, que
se obtiene a través del uso de diferentes leyes de la electrónica.
resistencias eléctricas (resistores) y un par de bobinas (inductores), todo se
encuentra conectado a una fuente. El comportamiento de este tipo de circuito
se describe generalmente por una ecuación diferencial de segundo orden, que
se obtiene a través del uso de diferentes leyes de la electrónica.
A continuación se realizara una breve descripción de los diferentes componentes
del circuito y se enunciaran las leyes utilizadas.
del circuito y se enunciaran las leyes utilizadas.
- Resistor
Se denomina resistor (Figura 1) al componente electrónico diseñado para introducir
una resistencia eléctrica, se opone al paso de la corriente, determinada entre dos
puntos de un circuito eléctrico. Su función es disminuir la corriente que pasa.
Esta resistencia R provocada por el resistor es medida en ohms [Ω].
una resistencia eléctrica, se opone al paso de la corriente, determinada entre dos
puntos de un circuito eléctrico. Su función es disminuir la corriente que pasa.
Esta resistencia R provocada por el resistor es medida en ohms [Ω].
Figura 1: Representación simbólica de un resistor.
- Inductores
Un inductor (Figura 2) o bobina es un componente pasivo de un circuito eléctrico
que, debido al fenómeno de la autoinducción, almacena energía en forma de campo
magnético. Un inductor está constituido normalmente por una bobina de conductor,
típicamente alambre de cobre. Poseen una inductancia L medida en henrys [H].
que, debido al fenómeno de la autoinducción, almacena energía en forma de campo
magnético. Un inductor está constituido normalmente por una bobina de conductor,
típicamente alambre de cobre. Poseen una inductancia L medida en henrys [H].
Al pasar la corriente a través de una bobina L, se produce un campo magnético que
se opone a cualquier cambio en la corriente que circula a través de ella.
se opone a cualquier cambio en la corriente que circula a través de ella.
Figura 2: Representación simbólica de un inductor.
Leyes y relaciones
Además de los tres elementos descriptos anteriormente, hay que tener en cuenta la
corriente i(t) medida en amperes [A], el voltaje v(t) medido en volts [V] y la carga
q(t) medida en coulombs, asociados al circuito.
corriente i(t) medida en amperes [A], el voltaje v(t) medido en volts [V] y la carga
q(t) medida en coulombs, asociados al circuito.
Relación 1 El flujo de corriente en el circuito está relacionado con la carga q(t)
mediante la relación:
mediante la relación:
Relación 2 La relación entre el flujo de corriente i(t) y la caída de voltaje v(t) a
través de la resistencia es igual a Ri (Ley de Ohm).
través de la resistencia es igual a Ri (Ley de Ohm).
La interacción entre los diferentes componentes individuales que forman un circuito
RLC está determinada por las leyes de Kirchhoff:
RLC está determinada por las leyes de Kirchhoff:
Ley 1 La suma de las corrientes que entran a cualquier unión en un circuito debe
ser igual a la suma de las corrientes que salen de dicha unión:
.
ser igual a la suma de las corrientes que salen de dicha unión:
.
Ley 2 La suma de diferencias de potencial a través de todos los elementos de
cualquier espira de circuito cerrado debe ser cero:
.
cualquier espira de circuito cerrado debe ser cero:
. TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace es de gran importancia en la ingeniería ya que permite
reducir ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes a simples
expresiones algebraicas de sencilla resolución.
reducir ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes a simples
expresiones algebraicas de sencilla resolución.
La transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números
positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
siempre y cuando la integral este definida.
La función original f(t) se conoce como transformada inversa o inversa de F(s), es decir
A continuación, un teorema en particular que luego será utilizado en el ejemplo.
Teorema 1 Sea f(t) una función tal que su transformada de Laplace es F(s),
Re(s)>p. Sea α ϵ C, entonces la función
tiene también transformada de
Laplace, y estará dada por:
Re(s)>p. Sea α ϵ C, entonces la función
tiene también transformada deLaplace, y estará dada por:
con Re(s)>p+Re(a). EJEMPLO DE APLICACIÓN
Dado que ya hemos enunciado los diferentes conceptos, que eran necesarios conocer
para una mejor comprensión del ejemplo, ahora podemos proceder a aplicarlos en
un circuito eléctrico específico.
para una mejor comprensión del ejemplo, ahora podemos proceder a aplicarlos en
un circuito eléctrico específico.
El método de resolución resultara bastante sencillo; primero se buscara plantear las
ecuaciones diferenciales que caractericen el comportamiento del circuito. En segundo
lugar se aplicara la técnica de transformada de Laplace para así poder transformar la
ecuación diferencial en una ecuación algebraica, la cual se puede resolver fácilmente.
Por último se aplica la transformada inversa para recuperar las soluciones al
problema original.
ecuaciones diferenciales que caractericen el comportamiento del circuito. En segundo
lugar se aplicara la técnica de transformada de Laplace para así poder transformar la
ecuación diferencial en una ecuación algebraica, la cual se puede resolver fácilmente.
Por último se aplica la transformada inversa para recuperar las soluciones al
problema original.
El ejemplo se desarrollara sobre el circuito en paralelo de la figura 3 que está
compuesto por tres resistores (R1, R2 y R3) y dos bobinas (L1 y L2) conectados a
una fuente de voltaje e(t). Antes de cerrar el interruptor en el tiempo t=0, la corriente
resultante en el circuito es cero. Determinaremos las corrientes i1(t) e i2(t) que
circulan en cada malla del circuito en el tiempo t.
compuesto por tres resistores (R1, R2 y R3) y dos bobinas (L1 y L2) conectados a
una fuente de voltaje e(t). Antes de cerrar el interruptor en el tiempo t=0, la corriente
resultante en el circuito es cero. Determinaremos las corrientes i1(t) e i2(t) que
circulan en cada malla del circuito en el tiempo t.
Figura 3: Representación del circuito eléctrico a estudiar.
Aplicando la ley 1 de Kirchhoff al nodo X obtenemos:
Aplicando la ley 2 de Kirchhoff a cada una de las mallas del circuito se obtiene:
Sustituyendo los valores dados para las resistencias y las bobinas da:
Aplicando
la transformada de Laplace
teniendo en cuenta las
condiciones iniciales 
llegamos a las ecuaciones transformadas
llegamos a las ecuaciones transformadas 
Trabajando con el sistema
de dos ecuaciones anterior obtenemos:
Utilizando el método de
fracciones parciales da
Por último
se aplica la transformada inversa
para así obtener:
Luego del sistema de ecuaciones obtenemos la corriente restante:
Esto es
Se puede observar como la transformada de de Laplace resulta ser una herramienta
matemática muy útil al momento de resolver problemas relacionados a los circuitos
eléctricos. Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes (presentes en los circuitos eléctricos) de una manera simple
y mecánica, ya que solo basta con seguir los pasos mencionados para encontrar una
solución al problema.
matemática muy útil al momento de resolver problemas relacionados a los circuitos
eléctricos. Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes (presentes en los circuitos eléctricos) de una manera simple
y mecánica, ya que solo basta con seguir los pasos mencionados para encontrar una
solución al problema.
Bibliografía
REFERENCIAS
- G. James, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Pearson Educación, 2002, pp. 130-135.
- G. Calandrini, Guía de Definiciones y Teoremas estudiados en el curso de Funciones de Variable Compleja.1er. cuatrimestre 2011, pp. 56-63.
- R.A. Serway y R.J. Beichner, Física II Para Ciencias e Ingeniería, McGraw-Hill, 2001, pp. 877-878.
- Wikipedia, La enciclopedia libre, [internet], Resistor, disponible en http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_el%C3%A9ctrica, [acceso el 19 de julio de 2013].
- Wikipedia, La enciclopedia libre, [internet], Inductor, disponible en http://es.wikipedia.org/wiki/Bobina, [acceso el 19 de julio de 2013].
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